Matematiğin temelleri nedir?
Matematiğin Temelleri Klasik Fizikçiler der ki: Evren parçacık ve dalgaların birleşiminden oluşmaktadır.
Kısa Bilgi
Evrenin temel taşı nedir?
Yani evrende var olan bir şey ya parçacıktır ya da dalga. Parçacığın konumu dalganın ise miktar ile ifade ettiğimiz genliği olur. O zaman evrensel olarak yani dil bağımsız olarak ifade edilmesi ve anlaşılması gereken iki şey var: miktar ve konum. Bunların ifadesi için yüzyıllardır sayılar dediğimiz sembolleri kullanıyoruz. Ama şöyle bir sorun var bir sayının miktar mı konum mu gösterdiğinden işlem yapana kadar emin olamayız. Ne demek tüm bunlar? Bunların ne demek olduğunu anlayabilmek için en baştan temelden başlamamız lazım. Biz de öyle yapacağız. Ayrıca ders boyunca adım adım genişleterek bir de ağaç yapısı çıkaracağız. Miktardan konumdan ve bunların evrensel olarak ifade etmekten bahsettik ya. Biz miktar ile başlayalım. Çokluğun ifadesi açısından elmaları örnek gösterelim. Şu andan ekranda görünen elmaların miktarını nasıl ifade edebiliriz. Bu sorunun cevabını yüzyıllar evvel yaşayan insanlar simgeler tanımlayarak vermişler. Evrensel olarak anlaşılacak bir ifade metodu başka türlü olamazdı zaten. Ama kaç tane simge tanımlanmalıydı taneleri ifade edebilmek için? Ucu bucağı olmayan sonsuz simge tanımlamaya kalksalar… Böyle bir şeyin ne yapılabilirliği mümkün… Yapılsa bile böyle bir şeyin ne kullanışlığı ne de öğretilebilirliği olur. Daha da önemlisi böyle bir şey yöntem değildir. Bizim yönteme ihtiyacımız var. Böylelikle sayı ve basamak kavramları ortaya çıkmış. Önce parmak sayımız kadar simge tanımlamışlar. Daha sonra simgelerin yan yana yazımı ile sınırsız miktarı ifade edebilecek yöntemi yani basamak kavramını geliştirmişler. 10 sembol ve bir döngü ile hiçbir sınırlandırmaya bağlı kalmadan miktarın ifadesi başarılmış. Peki ya konumun ifadesi? Bu kısım miktar kadar kolay değil. Çünkü konumun nerede ifade edildiği önemli, nerede? Yani hangi boyutta? Boyut kavramına önce boyutsuzluk ile başlayalım. Boyutsuzluğu nokta ile ifade ediyoruz. Ekranda gözüken bu koca nokta boyutsuz mu yani? Değil. Bunu boyutsuz yapan şey büyüklüğünü sıfıra yaklaştıracak kadar küçültmemiz. Nokta bir yer gösterir ama kendisinin kapladığı alan sıfırdır. Bu bilgi dersin sonlarına doğru bir kere daha karşımıza çıkacak. Noktanın kapladığı alan sıfır olduğundan ya da sıfıra yakınsadığından boyutsuzlukta adresleme diye bir kavramdan bahsedemeyiz. Şimdi gelelim bir adresleme tekniği bulmak zorunda kalacağımız tek boyuta. Tek boyuta en güzel örnek zamandır. Hiçbir genişliği olmayan sadece tek yönlü bir uzunluk… Görsellik açısından biz bunu düz çizgi ile gösterelim. Sağdan ve soldan sonsuza giden bir çizgi… Yapmak istediğim bu sonsuz çizgi üzerindeki her birimi -ki birimler arasındaki mesafe bize kalmış bir şey, biz şu kadar olarak belirleyelim mesafeyi- bağımsız bir sembolle ifade etmek. Yani kullanacağımız hiçbir sembol kendini tekrar etmeyecek. Yani her noktanın kendine has bir sembolü olacak. Zaten bunu yapmayı başaramazsak bir adresleme tekniğinden de bahsedemeyiz. Peki, ne yapacağız? Her nokta için tekrardan sembol mü bulacağız? Gene yüzyıllar evvel bu soruyu “Hayır” diye yanıtlamış insanlar. Bizim zaten miktarı ifade etmek için kullandığımız on tane sembolümüz ve onları tekrar tekrar kullanarak sınırsız büyüklüğü ifade edebildiğimiz basamak kavramamız var. Onları burada da kullanalım demişler. Böylece aynı semboller hem miktar hem konum gösterebilir olmuş. Kullanalım da, nereden başlayacağız kullanamaya? Başı yok sonu yok çizginin. O zaman mecbur bir noktayı başlangıç yani referans noktası olarak belirlemeli ve bir yöne doğru sembollerimizi yerleştirmeliyiz demişler. Ve dediklerini de yapmışlar. Ama görüldüğü gibi işleri bitmemiş. Çünkü bir noktayı referans seçip miktar için kullandığımız sembolleri kullanarak sadece bir tarafı adresleyebildik. Ya diğer taraf? Orası için ne yapacağız? Yeni sayı sembolü tanımlasalardı o zaman işler karışırdı. Miktarı belirtmek için kullandığımız teknik de değişirdi çünkü. Yeni sayı sembolü tanımlamadan bu iş nasıl başarılabilir? Şöyle yapsak, bir noktayı referans seçip oraya 0 atamıştık ya, sağ tarafı da simgelerle adreslemiştik. Sol tarafı da sağ tarafa göre adreslesek… Bunun için de bir işlem tanımlasak ve o işlem konumu referans noktasına göre 180 derece döndürse demişler. İşte o zaman tek boyutlu düzlemi yeni sayı sembolü tanımlamadan adreslemeyi başardık demektir. Ve böylece tarihteki ilk işlem ve işlemin sembolü ortaya çıkmış: Eksi Sol tarafın sağ tarafa göre adreslendiğini belirtmek için her sembolün önüne eksi sembolü koyarak tek boyutlu uzayı adreslemeyi başarmışlar. Eksi 180 derece döndürme işlemidir. Yani konum değiştirir ve tek sayı ile çalışır. Aslında hiçbir işlem tek sayı ile çalışmaz. Burada tanımın içinde ikinci bir sayı yani 0 olduğu için tek sayı ile çalışıyormuş gibi gözükür. Konum ve miktarı göstermesi için aynı sayı sembolleri kullanılıyorsa da, işlemler konum ve miktar işlemleri olarak ikiye ayrılmıştır. Tek boyutlu uzayın adreslemesi böyleydi. Şimdi gelelim iki boyutlu uzaya. İki boyut (2D) nedir? Yüzeydir. Alandır. Tek boyutta nasıl ki sadece uzunluk var genişlik yoksa. İki boyutta ise uzunluk ve genişlik var ama derinlik yoktur. Örneğin şimdi baktığımız ekran: iki boyutludur. Ama tabi ekranın sonsuza yayıldığını düşünmek gerekiyor. Peki, bu sonsuza yayılan iki boyutlu yüzeyi nasıl adresleyeceğiz? Yine aynı şekilde bu noktaların her birini kendine has benzersiz sembollerle adreslememiz gerekecek Nasıl yapabiliriz ki bunu? Tek boyuttaki kullandığımız tekniği kullansak… Nasıl olsa tek boyut için bir yöntem geliştirmiştik. Adreslemeyi başardığımız çizgileri alt alta çizsek ve onları adreslesek… Ama bu seferde her çizgiyi ifade edecek başka bir sembole ihtiyacımız olacak. Öbür türlü her sayı sembolünden, örneğin 3’ten çizgi adedince bulunacak yani sonsuz tane. Çünkü yüzey sonsuza gidiyordu. Burada bir sorun var bir yerde hata yapıyoruz. Yaşadığımız sorun şu: İki boyutu, tek boyutlu sembollerle ifade etmeye kalktık. İki boyutu, tek boyutlu sayılarla adresleyemezsin. Her çizgiyi benzersiz bir sembolle ifade etmekten bahsettik ya, yapmamız gereken iki boyutlu bölgeyi adreslerken iki boyutlu sayılar kullanmak. Şöyle yapsak: birbirine dik iki doğru çizsek ve bu doğruların üzerindeki noktaları adreslesek… Ve yüzeydeki her noktanın adresini bu doğrulara olan izdüşüm noktaları ile ifade etsek… O zaman iki boyutlu bölgeyi adresledik demektir. Peki, bu ikinci doğru için kullanacağımız semboller nasıl olacak. Az evvel nasıl sıfırın sol tarafını 180 derece döndürme işlemi tanımlayarak sağ tarafındaki semboller üzerinden adreslediysek, bunu da 90 derece döndürme işlemi tanımayarak başarabiliriz demişler. Böylece tarihteki ikinci işlemimiz de çıkmış. Şöyle bir sembol beğenmişler bu işlem için. Tanımını da 90 derece döndürme operatörü olarak yapmışlar. Bu da aynı eksi gibi tek sayı ile çalışır ve konum değiştirir demişler. Üçüncü parçayı da adreslemeyi başardık, sembolleri yüzeye yerleştirelim. i işlemini de ağacımıza ekleyelim. Şimdi geldiğimiz bu noktada tanımlara dikkat edersek, i ile - arasında bir bağıntı olduğunu görüyoruz. Eğer ki i 90 derece, eksi 180 derece döndürüyorsa, sembolik bir eşitlikle iki i bir eksi ediyor demektir. Bu yan yana iki i ifadesini, daha sembolik olarak i² olarak gösterirsek, i² eksiye eşit oluyor demektir. Bir kat daha sembolik ifade eder, her iki tarafın karekökünü alırsak; i’nin kök eksiye eşit olduğunu görürüz. Yani i² eşittir -1 diye, ya da i eşittir kök -1 diye bir bağıntı yoktur matematikte. i’nin sayısal bir değeri yoktur. Bu mesele yıllar içinde hep yanlış anlaşılmıştır. i bir sayı değil sadece bir işlemdir. i ile - arasındaki bağıntıyı açıkladığımıza göre, şimdi 2 boyutlu alana geri dönmemiz lazım, çünkü daha adreslemesi bitmedi. Son doğru parçasındaki noktaları da adreslememiz gerekiyor. Burası için üçüncü bir işlem 270 derece döndürme işlemi tanımlanmamıştır. Çünkü elimizde hem eksi hem i var zaten. Bunları yan yana yazarak 270 derece meselesini halledebiliriz demişler ve adreslemeyi de öyle yapmışlar. Zaten dikkat ederseniz eğer 270 derece için yeni bir işlem tanımlamış olsalardı, hatalı bir durum oluşacaktı çünkü iki defa 270 derece döndürme tekrardan eksiye eşit olacaktı. Bu durumda i ile tanımlanacak yeni operatör birbirine eşitmiş gibi olacaktı. Onun için üçüncü bir operatör tanımlanmamıştır. i ve eksinin birlikte kullanımı ile dik doğrunun alt tarafını adreslediğimize göre, artık iki boyutlu düzlemde her noktayı tamamen kendine has sembollerle ifade edebiliriz. İlginç bir anekdot daha var burada. Ne hikmetse, iki boyutlu düzlemde konum gösteren sayılara karmaşık sayı demişler. İnsanlara sanki farklı bir şey öğretiyorlarmış gibi anlatmışlar. Sanki karmaşık sayı diye ekstradan, böyle, evrene ait olmayan bir şeyi gösteren bir sayı varmış bir algı oluşturmuşlar. Hatta buna imajiner sayı, sanal sayı demişler. Sanal sayı, imajiner (imaginary number) sayı, karmaşık sayı… Bunların hepsinde insanlarda kafa karışıklığı yaratmaktan başka bir işe yaramayan ve doğru da olmayan ifadelerdir. Sadece şu var: Bir sayı konum da gösteriyor olabilir, miktar da. Konum gösteriyorsa, ya tek boyutlu(1D), ya iki boyutlu(2D) ya da biraz sonra anlatacağımız gibi üç boyutlu(3D) uzayda konum gösteriyordur. Tek boyutlu uzay için tek boyutlu sayılar, 2 boyutlu uzay için 2 boyutlu, 3 boyutlu uzay için 3 boyutlu sayılara ihtiyacımız var. Bu kadar. Ne hikmetse tutmuşlar, 2 boyutlu sayıya bir tane daha isim vermişler. Ayrıca, hani karmaşık sayılar arasında büyüklük küçüklük ilişkisi yok deniyor ya, onun da aslı, konum gösteren sayılar arasında büyüklük küçüklük ilişkisi olmaz şeklindedir. Buradaki nokta mı daha küçük yada şuradaki nokta mı daha küçük demek anlamsızdır. Bunlar sadece konum gösterir. Konum gösteriyorsa kıyas edemezsin. Ve illaki konum gösteren sayılar 2 boyutlu olmak zorunda da değildir. Yani -5 ile -3’ü de kıyas edemezsin. Çünkü -5 tane elma olmaz ya da -3 tane. Eksi varsa o sayı mutlaka konum gösteriyordur. Konum gösteriyorsa büyüklük küçüklük ilişkisi olmaz. 3. boyuta geçmeden önce bir mesele daha var ifade etmemiz gereken ki -bunu tek boyutu anlatırken de yapabilirdik- o da, düzlemde değişimi yani hareketi nasıl ifade edeceğiz? Evrenin işleyişine ait olan her şeyin, matematikte bir karşılığı olacak ya: Mesela ben; 2, i1 noktasından 1, i1 kadar ileriye 3, i2 noktasına gitmek istiyorum. Ya da buradan buraya… Ya da böyle… Veya böyle… Bunu nasıl ifade etmişler? Bu değişim, bu hareket işlemini artı olarak bildiğimiz operatör ile sembolize etmişler. Ve tanımını da ötelemeli hareket işlemidir olarak yapmışlar. Artı iki sayı ile birlikte çalışır ve konum değiştirir. Şimdi… Konum operatörlerine dikkat edersek, bize okulda öğretilen bir bilgi ile uyum içinde olduklarını görürüz. Artı ile ötelemeli hareketten bahsettik ya… Oysaki bize evrende 2 çeşit hareket olabileceğini, bunlardan birincisinin ötelemeli hareket, ötekisinin ise, dairesel hareket olacağını öğretiyorlardı. Dairesel hareketi sembolize edebilmek için yeni bir işlem sembolü tanımlamaya gerek var mı? Yok. Dairesel hareketi, biz zaten adresleme yaparken, i ve eksi ile tanımlamış olmuştuk zaten. Yani evrende 2 farklı şekilde hareket edebilirsin ve ikisinin de işlemi matematikte tanımlanmış durumda. Artı ile ötelemeli, i ve eksi ile dairesel hareket. Konum için son olarak gelelim 3. boyuta. Üçüncü boyutta genişlik ve uzunluğa bir de derinlik kavramı ekleniyor. Bu şekilde hacim kavramı ortaya çıkıyor. Nasıl ki iki boyutlu düzlem için iki tane doğru çiziyorsak, burada da 3 tane doğru çizip x-y-z düzlemini gösteriyoruz. Bu bölgedeki bir noktayı da x-y-z doğrularına olan izdüşümleri üzerinden 3 boyutlu sayılarla ifade ediyoruz. 3 boyutlu bir sayıyı örneğin 3x, 4y, 2z olarak ifade edebileceğimiz gibi. Bunun kabul gören gösterim formatı bu şekildedir. 3 boyut için özel olarak tanımlanmış özel bir işlem yoktur. Çünkü 3 boyutlu bölgede yapılacak herhangi bir hareket eninde sonunda dairesel ve ötelemeli hareketlerin toplamından oluşacaktır. Bu şekilde boyut ve konumdaki değişim için tanımlanmış işlemleri bitirdik. Ama miktardaki değişim ile ilgili hiçbir şeyden bahsetmedik. İlk alt başlığımız için son olarak miktardaki değişimden de bahsedelim. Miktarda olabilecek 2 değişim vardır. Artırma ve azaltma. Örneğin 3 tane elmayı ele alalım. Buna bir 3 elma daha eklemek. Miktarda artış olduğunu gösterir. Şu anda gözüken 2 tane 3 elmadır. İşte bu artış işlemini simgelemesi için çarpma işlemi tanımlamışlar. Çarpma miktarda artışı simgeler. 2 sayı ile çalışır miktarı değiştirir. Dolayısı ile sayılar mutlaka miktar göstermelidir çarpma işleminde. Bunu da ağacımıza ekleyelim. Geriye son bir işlem kaldı: Azaltma. Örneğin 6 elmadan 3 tanesinin azalması işlemi. Bu değişimi ifade etmek içinse bölme işlemini tanımlamışlar. Bölme miktar azaltma işlemidir. İki sayı ile çalışır. Miktarı azaltır. Dolayısı ile sayılar yine mutlaka miktar göstermelidir. Ve son olarak bu işlemin sembolünü de ağacımıza ekleyelim. Şimdi en başta dediğimiz bir şeyi tekrardan söyleyelim. Bir sayının, konum mu miktar mı gösterdiğinden işlem yapana kadar emin olamazsın. Yani mesela 3. Bu sembol, 3 tane elmayı mı ifade ediyor? Yoksa bir sokakta 3 numaralı evi mi? İkisi de olabilir. Çünkü miktar göstermesi için bulunan sembolleri konum göstermesi için de kullanmışlar. Ama işlemleri yani konum ve miktardaki değişimi ifade eden sembolleri birbirinden ayırmışlar. İyi de konum ve miktar işlemlerinin birlikte olduğu bir ifadeyi nasıl anlayacağız? Bunun cevabını şu meşhur eksi ile eksinin çarpımı meselesi üzerinden verelim o zaman. -3 x -4 İnsan şu ifadeye bakınca, şey zannediyor değil mi, 3’ün önündeki eksi 3’e 4’ün önündeki eksi 4’e ait. Böylece eksi ile eksiyi çarptığını zannediyor. Eksi ile eksiyi çarpamazsın. Yanlış. Çarpım sadece miktarı değiştirir. Miktar gösteren sayılar ile yapılabilir. Konumun çarpımı diye bir şey olmaz. İşte onun için işlem önceliği diye bir kavram vardır matematikte. Bunun için -3 x -4 işlemi otomatik olarak şu hale geliyor. Neden böyle oluyor? Çünkü önce çarpma ve bölme yani miktar işlemleri yapılır. Daha sonra konum işlemleri i,- ve + yapılır. Yani önce sayıları miktar olarak ele alırız yani şu anda 3 ve 4 tane gösteriyor. Çarpıyoruz. 12 çıkıyor.
MAtematiğin temelleri nelerdir?
Şimdi eksiler yapılacak. O zaman 12 artık konum göstermeye başladı. Hemen noktamızı koyup, düzlemimizi çiziyoruz. İlk eksi 180 derece döndürerek konumu değiştirir. Ve buraya gelir. İkinci eksi 180 derece döndürür ve başlanılan yere geri dönülür: Ve çıkan sonuç da 12’dir. +12 değil. +12 diye matematikte geçerli bir ifade yoktur. Bu x12, ÷1 demek gibidir. + iki sayıyla çalışıyordu unutmayalım. Tanımlara sadık kalacağız. Sözün özü eksi ile eksinin çarpımı neden artı sorusu baştan sona yanlış bir sorudur. Ne eksi ile eksiyi çarpabilirsin. Ne de çıkan sonuç artıdır. Çıkan sonuç 12’dir. Bu meselenin özü işlem önceliğine neden ihtiyaç duyulduğunun anlaşılmasından geçmektedir. Çünkü konum ve miktar işlemleri birbirinden tamamen ayrılmıştır. Miktar işlemleri miktar gösteren sayılarla yapılırken, konum işlemleri konum gösteren sayılarla yapılabilir. Konum gösteren sayılar ile miktar işlemleri yapılamaz. Onun için eksinin çarpımı diye bir şey olmaz. O zaman 3+3+3+3 sonuç itibari ile 3x4’e eşit iken, aslında işlem olarak eşit değildir. Evet, ikisi de sonucunda 12’ye ulaşır ama birisinde konum değiştirirken, diğerinde miktar artırmış oluyoruz. Ayrıca +1 matematiksel olarak anlamsız bir ifade iken, mesela —iii5 geçerli bir ifadedir. Burada 3 tane 180 üç tane 90 derece döndürme işlemi vardır. Onun için 2 boyutlu düzlemi çizerken -i operatörünü kullanabildik. Bu işlem geçerli olduğu için. Sayılardan ve işlemlerden bahsettik. Sayılar ile miktar ve konumun sembolize edildiğinden, işlemler ile miktar ve konumdaki değişimin sembolize edildiğinden. İşte tüm bunların tanımlandığı matematiğin alt dalına aritmetik diyoruz. Aritmetik evrendeki değişim ile alakalı çalışma alanıdır. Ama sabit oranlı değişim. Tanımı ise şöyledir: Matematiğin miktar ve konumun sayılarla, miktar ve konumdaki sabit oranlı değişimin ise işlemlerle hesaplandığı bölümüdür. Diğer alt başlığa geçmeden toparlayalım. Sayılar, konumu veya miktarı belirtmede kullanılan simgelerdir. Bir sayının konum mu miktar mı gösterdiğini işlem yapana kadar bilemeyiz. Matematiğin 5 işlemi vardır. Bunlardan ikisi; çarpma ve bölme, miktarı değiştiren; diğer üçü; eksi, i ve artı ise konumu değiştiren işlemlerdir. Eksi ve i dairesel hareketi simgelerken, artı ötelemeli hareketi simgeler. i 90 derecelik adımlarla dairesel hareketi simgelerken, eksi 180 derecelik adımlarla simgeler. Buradan 2 tane i işleminin bir tane eksi işlemine eşit olduğu bağlantısını elde ederiz. i’nin sayısal bir değeri yoktur. Hem miktar değiştiren hem de konum değiştiren işlemlerin bulunduğu bir ifadeyi çözerken önce sayıları miktar olarak alıp miktar işlemlerini(çarpma, bölme) yaparız. Daha sonra çıkan sayıyı konum olarak alır konum işlemlerini yaparız. Konum işlemlerinde; dairesel hareket, ötelemeli hareketten daha önceliklidir. Onun için önce eksi veya i’li işlemleri yaparız. En son artı işlemini yaparız. Sadece, miktar belirten sayıların büyüklük küçüklük ilişkisi olur. İşte tüm bunlar, cebir için gerekli. Cebir matematiğin evreni oluşturan parçaların birbiri ile olan ilişkisinin aritmetik işlemler ve değişkenler yardımı ile ifade edildiği bölümüdür. Cebir’in çalışma alanı ilişkidir yani denklemler. Denklem bir eşitlik ifade ettiği için, eşittir operatörünü bu alt başlığa ekledim. Cebirsel denklemleri aritmetik ile çözer, Harfler ile denklemleri ifade ederiz. Nasıl ki aritmetikte konum ve miktarı sayılarla soyutladı isek, cebirde de sayıları harfler ile yani değişkenler ile soyutlarız. Buna bir örnek olarak, dünyanın belki de en bilinen kanunu Newton’un 2. hareket yasasını örnek verelim. F = m.a Uygulanan kuvvet ile cismin kütlesi ve ivmesi arasındaki bağıntıyı ifade eden denklem. Buradaki tüm değişkenler sayıları simgeliyor. Herhangi bir değişkenin sayısı değiştiğinde diğerinin de buna bağlı olarak değişeceğini gösteriyor. İvmenin hız÷zaman olduğunu bildiğimizden denklemi tekrardan şu şekilde düzenlersek, hız zaman grafiği bu şekilde sabit oranlı değişim gösterecek. Denklemin cebirselliği bu sabit oranlı değişimden kaynaklanıyor. Sabit oranlı olduğu için bize verilen değerlerle aritmetik işlemler vasıtası ile istenen veriyi bulabiliyoruz. V’yi t’ye bölüyoruz ivmeyi buluyoruz. Kütlesi de verilmişse uygulanan kuvveti bulabiliyoruz. Eğer ne kadar yol gittiğini isterse, v ile t’yi çarpıyoruz ve grafiğin altındaki alan ile alınan toplam yolu bulabiliyoruz. Ama dediğimiz gibi değişim sabit oranlı ise, oysaki gerçek hayatta çok nadir olarak sabit oranlı değişim gösteren değerlerle ile karşılaşırız. Genelde olan şey eğrisel bir grafiktir. Ve bu eğriliğin bir fonksiyon ile ifade edilmesidir. F=m.a bir fonksiyondur. F=m.a içinde a da bir fonksiyondur. Fonksiyon içinde fonksiyon. Aritmetikte konum ve miktarı sayılarla simgeleştirdik, cebirde sayıları harflerle simgeleştirdik. Son olarak da harfleri fonksiyonlarla ifade edeceğiz. İşte bu konunun incelendiği alana Calculus diyoruz. Tanımı matematiğin değişken oranlı değişiminin hesabının yapıldığı bölümü şeklindedir. Aritmetikte sabit oranlı, burada değişken oranlı değişim var. Calculus aritmetikteki muadili bölme olan eğrinin eğiminin hesaplandığı diferansiyel. Ve aritmetikteki muadili çarpma olan eğrinin alanın hesaplandığı integral calculus olmak üzere, iki ana başlığa sahiptir. Diferansiyelde eğrisel bir grafiğin eğimini hesaplıyoruz. Böylece bize, örneğin hız bağıntısı t’ye bağlı bir fonksiyon olarak verilmişse biz ivmenin fonksiyonunu bulabiliyoruz. Bu eğim hesabındaki yapılan işlem şu: t’yi h kadar artıyoruz ve bunun sonucundan ikinci noktayı belirliyoruz. h miktarı neredeyse 0. Daha doğrusu teorik olarak 0 olacak. O artışın karşılığında da F ekseninde, f(t+h) - f(t) kadar artma oluyor. Karşı÷komşudan çıkan eğim ifadesi bu. Mesela f(t) = t^2 verilsin. İfademizi yazalım. Bunu açtığımızda şöyle bir ifade çıkacak. t^2 ‘leri sadeleştirdiğimizde ise çıkan ifade bu. h’yi de sadeleştirdik ve en son h yerine 0 koyduğumuzda çıkan ifade 2t olacak. t^2 ‘nin türevi 2t’dir. Pratik olarak, söylenen şey üs değerini, ifadenin başına çarpan olarak getir. Üs ifadesini bir eksilt. Burada kare ifadesini gösteren 2 başa çarpan olarak geldi. 2’yi de 1 azalttık. 1 kaldı. Sonuç 2t oldu. t^2 fonksiyonun herhangi bir noktasındaki eğimini veren fonksiyon bu. Yani fonksiyondan başka bir fonksiyon elde ettik. integral hesabında ise yapılan işlem çeşitli yaklaşım metotları ile alan hesabı yapmaktır. Pratikte yapılan ise türev işlemin tam tersidir. İfadenin üs kısmını 1 artır. Ulaştığı değeri bölüm olarak başa yaz. Hem türev hem integral hesabı tek değişkenli ve çok değişkenli olarak ikiye ayrılır. Çok değişkenliye, vektör calculus da denir. Tek değişkenlide fonksiyonumuz tek bir parametreye bağlı yani tek değişkenli bir fonksiyondur. 2 boyutlu düzlemdeki şekli tek boyutlu olarak kabul ettiğimiz çizgidir. Çok değişkenli fonksiyon ise çok boyutlu düzlem içinde 2 boyutlu ya da 3 boyutlu bir şekildir. Yani fonksiyonun 2 veya daha çok parametresi vardır. Bu tek değişkenli ve çok değişkenli fonksiyon kavramlarına bir örnek verelim. Önceki örneklerimizdeki gibi, tek değişkenli fonksiyon tek bir değere bağlı iken çok değişkenlinin birden fazla parametresi vardır. Tek değişkenli 2 boyutlu yüzeyde tek boyutlu bir şekil iken, çok değişkenli 3 boyutlu uzayda bir alan kaplamaktadır. y’ye 0 verdiğimizde çıkan şekil ve x’e 0 verdiğimizde çıkan şekil bu. x^2+ y^2 fonksiyonu bir bardak ya da huni şeklinde bir şekil çıkarmaktadır. Şöyle bir şey var: Bu şekli 3 boyutlu uzayda çizdiğimiz için buna hem şu anda yaptığımız gibi yandan hem de tepeden bakabiliriz. Eğer ki z doğrultusunda tepeden bakarsak, görünen şekli 2 farklı yöntem ile çizebiliriz: 1. Renk kodlanmış gösterim 2. Kontur(Contour) Haritası Fonksiyona dikkat ederseniz, değerler artıp fonksiyon yükselirken eğimi de artış gösteriyor. Yani z doğrultusunda sabit oranlı artış göstermiyor fonksiyon. Yükselirken eğimi de artıyor. Her adımda daha hızlı yükseliyor. Yani şekle yukarıdan baktığımızda, eğimin dışarı doğrultuda artış gösterdiğini anlıyoruz. Onun için renk kodlanmışta, uç noktalar kırmızı olarak gösteriliyor ve kontur haritasında çizgiler dışarı doğru sıklaşıyor. Yani yaptığımız şey aslında, 3 boyutlu düzlemde gösterilen fonksiyonu 2 boyutlu düzlemde ifade etmek. O zaman biz 2 boyutlu düzlemde, yani alandaki renk değişimine bakarak fonksiyonun türevini bulabiliriz. Ama önce alan kavramını anlamamız lazım. 2 çeşit alan vardır. Skaler alan ve vektör alan. Skaler alanda her noktanın sayısal olarak ifade edilen bir değeri vardır. Mesela şu an ekranda görünen dikdörtgenin her noktasını renk kodları ile sayısal olarak ifade edebiliriz. Yani bu dikdörtgen bir skaler alandır. Vektör alanda ise aynı skaler alanda olduğu gibi her noktanın skaler bir değeri aynı zamanda her noktanın bir yönü vardır. Mesela akan bir değerinin yüzeyine baktığımızda hem her damlanın yansıttığı bir renkten dolayı bir sabit değeri vardır. Hem de her damlacık hareket halinde olduğu için bir yönü vardır. Bu da vektör alandır. İşte biz çok değişkenli fonksiyonlarımızın türevlerini bu alanlarda alacağız. Bu 2 tip alanda değişimleri hesaplayarak fonksiyonların türevlerini bulacağız. Alanda türev almak kısmi türev almak demektir. Onu da del işlemcisi ile gösteriyoruz. Hem skaler hem de vektör alanda türev nasıl alınıyor ona bakalım. Bunun için x^2+ y^2 fonksiyonunu tekrardan kullanalım. Fonksiyonun renk kodlanmış hali böyleydi dedik. Siyah beyaz gösterirsek: siyahı 0, beyazı 255+255+255 yani maksimum değer olarak alacağız. Dolayısıyla beyaz en dışta olacak demektir. Çünkü eğim dışarı doğru artıyor. Türev eğim ile alakalı işlem ise skaler alanda türev alma değişimin en yüksek olduğu noktayı bulma demektir. O zaman bu fonksiyonun değişimi dışarı doğru ise, ifadenin türevini aldığımızda bize beyazı gösteren bir fonksiyon çıkarmalı. Alalım. x^2+ y^2 ‘nin kısmi türevi 2x+2y çıkacak. Bunun da grafiğini çizdiğimizde şöyle ve şöyle bir ifade çıkacak. Buna da tepeden bakarsak, çıkan şekil bu oluyor. Yani x^2+ y^2 alanında en yüksek değişimin nerede olduğunu gösteren vektörler çıkıyor karşımıza. Bu işleme gradyan diyoruz. Formülü de bu. Vektör alanda ise 2 tip işlemimiz var. Diverjans ve rotasyonel. İkisi için de vektör alan olarak yine bir dereyi düşünelim. Önümüzde akıyor ve biz de yüzeyindeki bir noktaya bakıyoruz. Eğer ki oraya giren vektörler yani bu örnek için su taneleri, çıkan vektörlere eşit değilse, orada bir kaynak var demektir. Bir değişiklik yaratıyor demektir. Yani öteliyor demektir. Diverjansın işlemi bu, daha farklı boyuttan gösterimi ise bu. Bir noktadan fışkıran oklar. Ne oluyor dedik? Öteliyor. Biz evrende olabilecek 2 tip hareketten bahsetmiştik: Ötelemeli hareket ve dairesel hareket. Eğer ki hareketli bir alanda, ötelemeli hareketi, ötelemeli değişimi hesap eden bir işlem bulunmuşsa, dairesel değişimi hesap için de bir işlem olacak demektir. Ki işte rotasyonel onun için var. Onun için vektör alanda iki farklı işlem var. Skalerde tek işlem var. Sadece değişimi buluyoruz. Eğer eksili sonuç çıkarsa azalma var demektir. Ama ötelemeli ve dairesel hareket birbirinden tamamen bağımsız olduğu için vektör alanda türev için 2 işlemimiz oluyor. Hepsi en başta söylediklerimiz ile uyum içinde. Eğer derinin akışı şekilde görüldüğü gibi ise, dere üzerinde yüzen bir nokta ilerlerken, aynı anda kendi etrafında dönmeye başlayacak demektir. Rotasyonel işlemi de bu şekilde yapılıyor. Bu da, farklı bir açıdan gösterim. Bunları da tablomuza ekleyelim. Şimdi sıra geldi çok değişkenli fonksiyonlar için integral hesabına. Çok değişkenli fonksiyonlar için kullandığımız integralleri de ağacımıza ekleyerek calculus için anlatacaklarımızı bitirelim. Nasıl ki aritmetik cebirsel denklemler için gerekli demiştik. Tüm bu calculus hesapları da diferansiyel denklemler için gereklidir. Diferansiyel; matematiğin, evreni oluşturan parçaların birbiri ile olan ilişkisinin türev - integral işlemleri ve değişkenler yardımıyla ifade edildiği bölümüdür. Yani diferansiyel de ilişki üzerine kuruludur. Aynı cebirdeki gibi… Farkına yine Newton’un 2. hareket yasası üzerinden bakacak olursak. Cebirselde var olan şey: sabit oranlı değişimdi. Diferansiyel denklemlerde var olan şey ise değişken oranlı değişim. Cebirsel denklemlerde harfler sayıları simgelerken, diferansiyelde araya fonksiyon katmanı da giriyor. Dolayısıyla cebirsel denklemlerde doğrudan aritmetik işlemlerle sonuca ulaşılabilinirken, diferansiyel denklemlerde calculus işlemleri yaptıktan sonra sonuca ulaşabiliyoruz. Miktar ve konumu önce sayılarla soyutladık. Daha sonra sayıları, harflerle yani değişkenlerle en sonda ise değişkenleri fonksiyonlarla soyutladık. Ve son alt başlığımıza geldik. Şimdiye kadar sabit oranlı değişim, değişken oranlı değişim ve bunlara bağlı ilişki kavramını işledik. Evrenin işleyişinde ifade edebileceğimiz geriye ne kalmış olabilir ki? Bunun cevabına geçmeden önce bir soru sormak istiyorum. Şu anda ekranda 2 tane bilgi var. İkisi de doğru bilgi ama sadece bir tanesi bilimsel bilgi olarak vasıflandırılıyor. Sizce bunlardan hangisi bilimsel bilgidir ve neden? Siz bunun cevabını düşünürken, benim son alt başlığa hazırlık bağlamında değinmem gereken 2 konu var onları anlatayım kısaca. Maclaurin Serisi ve e sayısı. Maclaurin diyor ki biz bütün fonksiyonları bu şekilde ifade edebiliriz. Mesela, f(x)=3x^4+5x^2+2x Bunu yukarıdaki açılıma uyarlarsak a4 katsayısı 3, a2 katsayısı 5, a1 2 çıkacak ve diğer katsayılar 0 olacak. Şimdi, bu örnekte f(x) çok temel bir fonksiyon ifadesi içerdiği için katsayılar gözümüzün içine bakıyor zaten. Herhangi bir işlem yapmadan katsayıları söyleyebiliyoruz. Ama daha karmaşık bir ifade olsaydı ya da verdiğimiz basit ifadede nasıl bir yöntemle katsayıları bulabiliriz sorusuna Maclaurin şöyle cevap veriyor: Önce her katsayı için o katsayı derecesinden türev alırız daha sonra çıkan ifadede x yerine 0 koyarız. a0 için 0. derecen türev alıyoruz, yani türev almadan x yerine 0 atıyoruz. a1 için 1. dereceden alıp x yerine 0 atıyoruz. a2 için 2. dereceden alıp yine x yerine 0 atıyoruz vs… diye gidiyor. Bu işlem şunu sağlıyor: Belli bir derecede türev aldığımızda kendinden önceki ifadeler sıfırlanıyor. Sadece kendisinin katsayısı kalıyor. Sağında kalanların x çarpanı olacağından x’e de 0 vererek, sağ taraftakileri sıfırlıyoruz. Ama burada şöyle bir sorun var. an katsayısı yanına, n kadar türev aldığımız için n! çarpanı da geliyor O zaman en son aşamada n! e de bölmememiz gerekiyor ki gerçek katsayıyı bulabilelim.
Fonksiyon matematikte ne işe yarar?
Ve bu yöntemle biz her katsayıyı bu şekilde hesaplayabiliyoruz. O zaman f(x) fonksiyonu açılımını bu katsayı ifadesi ile tekrardan düzenlersek… f(x) fonksiyonunu bu şekilde yazabiliriz. Tamam. Bu bilgiyi bir kenara koyalım. e sayısı ise şudur. Buradaki ilginç nokta, e sayısını kullanarak yazacağımız e^x fonksiyonunun türev değerlerinin grafiği e^x ‘in kendisine eşit oluyor. 2^x için altında, 3^x için ise üstünde çıkıyor. O zaman e^x ‘in türevi ve integrali kendisine eşit demektir. Bu bilgiyi de kenara koyarak az önce sorduğumuz sorunun cevabını verelim. Cevap: Kuşlar her sonbaharda sıcak memleketlere göç ederler olacaktı. Her sonbaharda. Neden bu? Diğerinde sayısal bir ifade vardı. Sayısal bir ifade olması onu mutlaka bilimsel bilgi statüsüne koyacak diye bir şey yok. Önemli olan bilginin periyodik değer içermesi. Bir durumu bilimsel bilgi statüsünde almak için doğada yani evrenin işleyişinde kendini tekrar etmesi gerekiyor. İşte bu son alt başlığımızda periyodik değişimi inceleyeceğiz. Peki, nasıl ifade edebiliriz periyodik değişimi? Kuş örneğimizle devam edelim… Bu sarı nokta kuş olsun. Mavi çizgi de kuşun kat ettiği yol. Kuş sıcak memleketlere gidiyor. Orada havalar soğumaya başladığında geri geliyor. Yani her defasında başladığı yere geri dönüyor. Ve bu durum şartlar değişmediği müddetçe sonsuza kadar tekrarlanıyor. Bunu nasıl ifade edebiliriz? Kuşun aldığı mesafeye x diyelim. Burada bir şey sonsuza giderken, kuş 0 ile x mesafesi arasında gidip geliyor olacak. Yani yazacağımız denklem bunu sağlamalı. Denklemin parametresi sonsuza giderken, denklemin ifadesi 0 ile x arasında değişecek. Şimdi gidip gelirken ne artıyor? Zaman ilerliyor desek, ki doğru zaman ilerliyor. İfade böyle olacak. Bu kendini tekrar etmeyi gösteriyor değil. Çünkü t arttıkça x.t de aratacak. Bunu başka şekilde ifade etmemiz lazım. Şöyle desem. Başlanılan yere geri dönmeyi, çember çizmek dışında başka şekilde ifade edebilir miyiz? Edemeyiz. O zaman, burada bir şekilde çember çizdirecek bir yapı oluşturmamız lazım. Şöyle, şu mesafenin yarı boyunda hayali bir vektörümüz olsa. Saat yönünün tersine pervane gibi dönse… Dönme hareketinin her anında aradaki açıyla bağlantılı olarak bir üçgen oluşturmaz mı? Oluşturur. Ve bu açının komşu kenarı, 90 dereceye kadar her adımda kısalıp sonrasında ise artmaz mı? Yani kuşun izlediği doğrultuyu izlemez mi? İzler. Yani açı devamlı artarken komşu kenar her defasında başlandığı yere geri döner. O zaman fonksiyonumuzu açıya göre yazmalıyız ve parametresi kesinlikle açı olmalı. Peki, açıyla bağlantılı olarak mesafeyi neyle çarpacağız ki, sonucunda mesafe sıfır ile X arasında değişecek? Komşu kenarın uzunluğu ile desek… Yok, tam olarak komşu kenarın uzunluğu ile demek doğru değil. Çünkü komşu kenar keyfi bir değer alabilir. Bize tam olarak açıya bağlı olarak 0 ile 1 arasında değişen bir parametre lazım. O da komşu kenar÷hipotenüs. Bir üçgende komşu kenarın ya da hipotenüsün değerleri ne olursa olsun birbirlerine oranı hep 0 ile 1 arasında değişir. İşte periyodik değişimi bu oran ile ifade ediyoruz. Şöyle anlatmaya çalışayım. Bu üçgende karşı kenar ve komşu kenar açıya bağlı olarak değişir ama hipotenüs sabittir. Açı 0 derece olursa karşı kenar 0 olur, komşu kenar hipotenüse eşit olur. O zaman oranlar için bir isimlendirme yapalım. Karşı kenar÷hipotenüs sinüs olsun. Komşu÷hipotenüs kosinüs olsun. Açıyı 0 dereceden başlatıp sonsuza kadar arttırdığımızda sinüs değeri 0’dan başlayıp 1 -1 arasında sonsuza kadar kendisini tekrar edecek. Kosinüs ise 1’den başlayıp 1 , -1 arasında sonsuza kadar kendisini tekrar edecek. O zaman biz fonksiyonumuzu sin veya cos ile yazarak doğada yapılan periyodik değişimi ifade edebiliyoruz. Sinüsün kosinüsün önemi burada kendisini gösteriyor. Çünkü sin, cos fonksiyonları tek boyutlu düzlemde periyodik değişimi simgeliyor. Son alt başlığımız: Geometri Geometri, matematiğin, farklı boyutlu uzayların ve şekillerin tanımlandığı ve bunlara bağlı olarak trigonometri denilen özel bir alt dalında, kapalı döngünün yani periyodik değişimin ifade edildiği bölümüdür. Periyodikliğin bağıntısını açı ile ifade ettik. Ama biz açı ile yaşamıyoruz zamanla yaşıyoruz. Bu açı ifadesini zamanla tekrardan yazabilir miyiz? Deneyelim. Şimdi biz kuşun gidişini ve gelişini gözlemledik ve karşımıza T kadar bir süre çıktı. Yani döngünün periyodu T. Demek ki 360 dereceyi T kadar zamanda alıyor. Eğer ki 360 dereceyi T kadar zamanda alıyorsa, 1 dereceyi 360 / T kadar zamanda alacaktır. O zaman bu ifadeye t çarpanı getirerek, t süre sonunda kaç derecelik açıda olduğunu hesaplayabiliriz. Yani mesela kuşun gidip gelme süresi yani periyodu 20 gün diyelim. 360/20 = 18 derece yapar. Demek ki her gün 18 derece gidiyormuş. Mesela 5 gün sonra 18x5 = 90 derecelik açıda olacaktır. Peki, hangi mesafede olacak dersek? İşte bu yukarıdaki zamanlı ifadeyi açının yerine yazarsak, genel formülü zamana bağlı olarak bu şekilde tekrardan yazabiliriz. Periyodiklikten bahsediyoruz. Bu konuda ufak bir bilgi verelim. Evrende 3 boyutlu uzay yani madde ve tek boyutlu zaman var. Periyodiklik bu ikisi için de geçerli bir kavramdır. Zamanda periyodikliği periyod ya da frekans ile gösterirken; maddede yani uzayda periyodikliği dalga boyu ile gösteriyoruz. Periyot ile frekans arasındaki bağıntı da budur. O zaman periyot ile yazdığımız bu ifadeyi frekans ile de yazabiliriz. Bir de 360 derece yerine 2.pi koyduğumuzda ulaşacağımız ifade bu olacak. Zaten ifadenin kabul görmüş gösterimi de budur. Az evvel tek boyutta periyot hareketi ve bunun nasıl ifade edildiğini anlattık. Ya 2 boyutta periyodikliği nasıl göstereceğiz? Dediğimiz gibi 2 boyutlu düzlemde kendini tekrar ediş kapalı bir döngüdür. Yani çember çizer. Peki, çemberi zamana bağlı fonksiyon olarak nasıl ifade edebiliriz? Önce x-y doğrularımızı çizelim. Takip edilecek güzergâhı da koyup, bu yönde dairesel hareketin her adımında x ve y düzlemlerine izdüşümlerine baksak ne ile karşılaşırız? Karşılaşacağımız şey, x düzlemi bileşeninin 1’den başlayarak kendini tekrar etmesi yani kosinüs, y düzlemi bileşeninin de 0’dan başlayarak önce 1’e daha sonra -1’e doğru kendini tekrar etmesi yani sinüs fonksiyonu olacak. Yani cos(phi) + sin(phi). Ama bu 2 boyutlu düzlem ifadesi değil. Bu toplam gösterimi… Yine tek boyutlu düzlemdeki sayıları içeriyor. Keşke sin(phi) değerlerini 90 derece döndürebilseydik. Keşkesi yok. Döndürebiliriz. Çünkü bizim bu işi yapan i operatörümüz vardı. Bunun sonucunda çıkan ifade cos(x) + isin(x) cos(x) + isin(x) periyodikliğin 2 boyutlu düzlemdeki simgelenmesidir. Açıyı sonsuza doğru adım adım artırır ve değerlerini kontrol edersek, hep bir kapalı döngü yani çember çizdiğini görürüz. Ayrıca nasıl tek boyutlu düzlemde kendini tekrar edişi zamana bağlı yazdıysak, bu ifadeyi de zamana bağlı yazabiliriz. Şimdi iki boyutlu düzlemde kendini tekrar edişini ifadesi cos(x) + isin(x) ile ilgili ilginç bir eşitlik var. O da bu ifadenin e^ix’e eşit olmasıdır. Ve zaten literatürde kullanılan ifade de bu e^ix’dir. Ama nasıl oluyor da bu ifade cos(x) + isin(x)’e eşit oluyor. Burada i’li üs alma ifadesi var. i’li üs alma nasıl oluyor? Biz üs almayı bu şekilde tanımlıyoruz. 4^3 demek 3 tane 4 demek. Bir de eksili üs alma var. O da bölme işlemine tekabül ediyor. 0’lı üs almayı 1 olarak tanımladığımızda 1/4^3 oluyor. Peki, i’li üs alma nasıl oluyor. İnternette bunun logaritmik bir açılımı olduğunu yazan kaynaklar var. Bakabilirsiniz. Bizim bilmemiz gereken eksi bir operatörse, eksili üs alma varsa, i de bir operatördür, dolayısıyla teorik olarak i’li üs alma da vardır. Dolayısıyla biz f(x) = e^ix diye bir fonksiyon tanımlayabiliriz. Aynı iki boyutta kendini tekrar edişi simgeleyen f(x) = cos(x) + isin(x)’i tanımlayışımız gibi. Ne demiştik? Biz her fonksiyonu Maclaurin Serisine açabiliyorduk. Ve bu formül ile de katsayıları tespit edebiliyorduk. Bu iki fonksiyon için katsayı tespiti yapalım. Bakalım ne çıkacak. Önce e^ix için a0’ı bulalım. 0. dereceden türev olmayacağı için doğrudan x yerine 0 koyduk sonuç 1 çıktı. cos(x) + isin(x) için yaptığımızda ise sonuç yine 1 çıktı. a1 için tekrar edelim. Hani bir şey daha söylemiştik ya… e^x’in türevi yine kendisi e^x’e eşit diye… Eğer x’in önünde bir parametre varsa o sadece başa gelir diye. Burada da e^ix’in türevi ie^ix olacak. x yerine 0 koyduğumuzda ise sonuç i çıkacak. Aynı şeyi 2. fonksiyon için tekrar edelim sonuç yine i. Daha fazla uzatmayalım. Bu 2 fonksiyonun da Maclaurin serisi açılımı katsayıları eşit çıktığı için bu iki ifade birbirine eşit olarak kabul ediliyor. O zaman biz f(t)= X(cos(2.pi.f.t)+isin(2.pi.f.t)) fonksiyonunu f(t)= X.e^2.pi.f.t olarak yazabiliriz. Ve yine 2.pi.f çarpanını w ile sembolize edersek, e^iwt = coswt + isinwt olarak yazabiliriz. Buna Euler Denklemi diyoruz. Şeklimiz tamamlanıyor. Geometrinin altına ekleyeceğimiz iki başlık daha var. Ama onları anlayabilmek için dikgenliğin ne olduğunu anlamamız gerekiyor. Geometrik olarak dikgenliğin ifadesi budur. 2 doğrunun 90 derece açı ile kesişmesi. Böylece altta kalan alanın sadece bir nokta olması… Hani aritmetiği anlatırken demiştik ya, nokta boyutsuzdur ve alanı sıfırdır diye. O zaman biz bu ifadenin integralini aldığımızda sonuç 0 olacak. Yani 2 fonksiyonunun çarpımının integrali sıfır ise, o iki fonksiyon birbirine dik demektir. Tersten bir daha söylersek, iki fonksiyon birbirine dik ise çarpımının integrali sıfır çıkacak demektir. Tüm bunları niye söyledim? Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili çok ilginç bir özellik var. O da şu ki: sinüs ve kosinüsün 0 ile 360 derece arasındaki, bütün değerleri birbirine diktir. Şimdi sinüs ve kosinüsün 0 ile 360 derce arası bütün değerlerini yazalım. Bu 720 tane ifadeden birini çekelim. Mesela sin 35. Bu ifade geriye kalan bütün sinüs ve kosinüs değerleri ile diktir. Mesela sin34 ya da cos 115 ile. Yani işlem yapmaya gerek yok. Mutlaka sonuç 0 çıkacak. Sin35 ile sadece sin 35’in çarpımının integrali 0 ‘dan farklı bir değer çıkaracak. Dereceyi periyot ya da frekansa bağlı yazıyorduk ya. O zaman şöyle diyebiliriz: Sadece aynı frekansta sin ve cos’ların çarpımının integrali 0’dan farklı çıkar. O zaman, bu trigonometrik fonksiyonların her farklı frekans değeri için birbirlerini sönümlüyorlar yani filtreliyorlar demektir bu. O zaman biz, karmaşık ve içinde hangi frekansta ne kadar sin veya kosinüs olduğunu bilmediğimiz bir fonksiyonun içindeki sinüs ve kosinüslerin ne kadar olduğunu bulabiliriz. Mesela sin35 var mı diye, yapıyı oluşturan tüm parçalar sin35 ile çarpar integralini alırız. Sonuç 0 çıkarsa yoktur. 0 çıkmazsa, mutlaka içinde sin35 var demektir. Peki, ne kadar var? Aynı frekansta 2 fonksiyonu çarpalım. Birinin genliği A olsun diğerinin 1. Biz A değerini verecek formülü çıkarmaya çalışacağız. Bu 2 fonksiyonun çarpımı neticesinde eksiler yukarıya taşınacağından sonuç olarak çıkacak fonksiyon bu olacak. Ne ilginç, 0 - t arası bu fonksiyonun şeklinin üzerindeki aynı renkle işaretlenmiş alanlar eşittir. Ve biz bu sinüsün t’ye kadar integralini aldığımızda, aslında bir kenarı t/2, diğeri A uzunluğunda olan dikdörtgensel bir bölgenin alanını hesaplamış oluyoruz. Yani A.T/2 = ………. T/2’yi de karşıya atarsak. Genlik A değeri : …….. Bu çok önemli bir keşif demek… Çünkü demek oluyor ki içi sinüs ve kosinüsler ile dolu ve içinde neyin ne kadar olduğunu bilmediğimiz kompleks bir ifadeyi biz parçalarına ayırabiliriz. Teker teker her frekans değeri için çarpıp integralini alırsak, o anda çarptığımız frekans bileşenin olup olmadığını tespit edebiliriz. Ve varsa da son yazdığımız bağıntı ile miktarını bulabiliriz. Çünkü her sinüs ve kosinüs değeri aynı zamanda diğer değerler için filtre görevi görmektedir. Tek boyutlu düzlem için sin veya cos’ların değerleri için çarpar sonuca bakarız. 2 boyutlu düzlem içinse -ki bu tek boyutu da kapsar- cos(x) + isin(x) ile çarpıp integralini alarak bakabiliriz. Yani tüm bunların neticesinde fonksiyonumuzun frekans haritasını çıkarırız. Yani fonksiyonumuzu zaman domeninden frekans domenine taşırız. Bu taşıma işlemi Fourier Dönüşümü olarak adlandırılıyor. Bu şekilde formüle edilmiş. İşlemlerinin nasıl yapıldığını çeşitli kaynaklardan bulabilirsiniz. Yapılan şeyin geometrik manası şu: Çeşitli frekansta yani farklı hızlarda dönen ve hepsinde genliği farklı olan vektörlerimiz var. Ve bunların birleşimini bir fonksiyon olarak ifade ediyoruz diyelim. İşte bu fonksiyonu, teker teker vektörlerine, bu vektörlerin her birinin hız ve genlik değerlerini de bularak ayırma işlemidir bu dönüşüm. Fourier, büyük bir matematikçidir mutlaka ama asıl kahraman o değildir. O sadece başkasının dönüşümünü modifiye etmiştir. Şekle dikkat ederseniz, Fourier Dönüşümü ile çıkardığımız vektörlerin hepsi 0 noktası orjinli dönmektedir. Ama ya kompleks ifademizin içinde burada dönen bir vektörümüz varsa ya da burada Tüm bunları ortaya çıkaracak yani 0 noktasından ileriye ötelenmiş vektörleri de çıkaracak daha genel bir çözümümüz olamaz mı? Olur. O çözüm de Laplace’a aittir. Fourier, Laplace’in çözümünü sadece modifiye etmiştir. Laplace Dönüşümünü, ağacımıza bu şekilde ekleyerek yapımızı tamamlayalım. Ve son olarak gelelim neden geometriyi en sona bıraktığımıza… En sona bıraktığımız halde neden şeklin ortasına koyduğumuza ve Laplace’in dönüşümü için koyduğumuz oku neden daha uzun çizdiğimize? Tüm bunları böyle yaptık. Çünkü Laplace dönüşümü ile diferansiyel denklemleri, cebirsel hale getirebiliriz. Böylece artık denklemi çözerken türev integral hesabı değil aritmetik işlemler yaparız. Çözdükten sonra da ters laplace’ını alarak tekrardan diferansiyel forma geri döndürürüz. Matematik: Konum ve miktarın sayılarla ifade edildiği; her türlü (sabit oranlı - değişken oranlı – periyodik) değişimin hesaplandığı ve tüm bunlara bağlı olarak değişkenler yardımıyla evreni oluşturan parçaların ilişkisinin ifade edildiği çalışma alanıdır.
Matematik hakkında ilginç bilgiler
Bu kısa Matematik’yu izleyerek İfade hakkında detaylı bilgi alabilirsiniz.
Facebook ve Twitter adreslerimizden bizi takip etmeyi unutmayın.
Bu konu ile alakalı soru sormak için hemen tıkla
